Alexander Melnikov valmistui Moskovan konservatoriosta Lev Naumovin johdolla ja sai varhaisen innoituksen Svjatoslav Richteriltä, joka kutsui hänet esiintymään festivaaleille Venäjällä ja Ranskassa. Melnikov on voittanut palkintoja mm. Robert Schumann -kilpailussa (1989) ja Brysselin Concours Reine Elisabeth -kilpailussa (1991). Melnikov tunnetaan omaperäisistä ohjelmistovalinnoistaan sekä kiinnostuksestaan historialliseen esityskäytäntöön. Hän esiintyy säännöllisesti periodiyhtyeiden, kuten Freiburgin barokkiorkesterin, Musica Aeternan ja Akademie für Alte Musik Berlinin kanssa ja on soittanut solistina huippuorkestereissa, kuten Concertgebouw’ssa, Leipzigin Gewandhausissa, Philadelphia Orchestrassa ja NHK Symphonyssa johtajinaan mm. Pletnev, Currentzis, Dutoit, Järvi ja Gergiev.

Kamarimuusikkona Melnikov tekee yhteistyötä erityisesti Jean-Guihen Queyrasin ja Isabelle Faustin kanssa. Melnikovin ja Faustin Beethoven-levy sai Gramophone-palkinnon ja ECHO Klassik - palkinnon. Melnikovin arvostettuun levytystuotantoonsa kuuluu mm. Šostakovitšin Preludit ja fuugat (BBC Music Magazine “50 Greatest Recordings of All Time”), Brahmsia, Prokofjevia ja Schumannia.